java math概率与统计（随机分布、置信区间）

一、核心概念

1. 随机分布（Random Distributions）

在统计学中，随机分布描述了随机变量取值的概率规律。Java 中常用分布包括：

• 均匀分布（Uniform）：所有值等概率出现（如掷骰子）
• 正态分布（Normal/Gaussian）：钟形曲线，自然界常见（如身高、考试成绩）
• 指数分布（Exponential）：描述事件发生的时间间隔（如客户到达时间）
• 泊松分布（Poisson）：单位时间内事件发生的次数（如每小时电话数量）

2. 置信区间（Confidence Interval）

置信区间是对总体参数（如均值）的区间估计，表示“我们有 X% 的信心认为真实均值落在这个区间内”。

• 常见置信水平：90%、95%、99%
• 公式（正态分布，σ 已知）：
  \[ \bar{x} \pm z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
• 公式（t 分布，σ 未知）：
  \[ \bar{x} \pm t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \]

二、Java 实现工具与库

✅ 强烈建议使用 Apache Commons Math：功能完整、文档丰富、性能优秀。

添加依赖（Maven）

<dependency>
    <groupId>org.apache.commons</groupId>
    <artifactId>commons-math3</artifactId>
    <version>3.6.1</version>
</dependency>

三、操作步骤（超详细）

步骤 1：生成随机分布数据

1.1 正态分布（Normal Distribution）

import org.apache.commons.math3.distribution.NormalDistribution;

public class RandomDistributionExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 创建正态分布：均值=100，标准差=15（如 IQ 分数）
        NormalDistribution normal = new NormalDistribution(100, 15);

        // 生成 10 个随机样本
        for (int i = 0; i < 10; i++) {
            double sample = normal.sample();
            System.out.printf("Sample %d: %.2f%n", i + 1, sample);
        }

        // 计算概率密度（PDF）和累积概率（CDF）
        double x = 115;
        double pdf = normal.density(x);  // 概率密度
        double cdf = normal.cumulativeProbability(x); // P(X <= 115)

        System.out.printf("PDF at x=115: %.4f%n", pdf);
        System.out.printf("P(X <= 115): %.4f%n", cdf);
    }
}

1.2 泊松分布（Poisson Distribution）

import org.apache.commons.math3.distribution.PoissonDistribution;

PoissonDistribution poisson = new PoissonDistribution(3.0); // λ = 3

for (int i = 0; i < 5; i++) {
    int sample = poisson.sample();
    System.out.println("Poisson sample: " + sample);
}

1.3 指数分布（Exponential Distribution）

import org.apache.commons.math3.distribution.ExponentialDistribution;

ExponentialDistribution exp = new ExponentialDistribution(2.0); // λ = 2

double waitTime = exp.sample();
System.out.printf("Next event in: %.2f units%n", waitTime);

步骤 2：计算置信区间（95%）

场景：我们有一组样本数据，估计总体均值的 95% 置信区间

import org.apache.commons.math3.stat.descriptive.DescriptiveStatistics;
import org.apache.commons.math3.distribution.TDistribution;

public class ConfidenceIntervalExample {
    public static void main(String[] args) {
        // 样本数据（例如：测量值）
        double[] samples = {102, 98, 105, 110, 95, 103, 107, 99, 101, 104};

        // 1. 计算样本统计量
        DescriptiveStatistics stats = new DescriptiveStatistics();
        for (double val : samples) {
            stats.addValue(val);
        }

        double sampleMean = stats.getMean();        // 样本均值
        double sampleStdDev = stats.getStandardDeviation(); // 样本标准差
        int n = stats.getN();                       // 样本大小

        // 2. 设置置信水平（95%）
        double confidenceLevel = 0.95;
        double alpha = 1 - confidenceLevel;         // 0.05

        // 3. 使用 t 分布（因为总体标准差未知）
        TDistribution tDist = new TDistribution(n - 1); // 自由度 = n-1
        double tCritical = tDist.inverseCumulativeProbability(1 - alpha / 2);

        // 4. 计算标准误差（Standard Error）
        double standardError = sampleStdDev / Math.sqrt(n);

        // 5. 计算置信区间
        double marginOfError = tCritical * standardError;
        double lowerBound = sampleMean - marginOfError;
        double upperBound = sampleMean + marginOfError;

        // 6. 输出结果
        System.out.printf("样本均值: %.2f%n", sampleMean);
        System.out.printf("样本标准差: %.2f%n", sampleStdDev);
        System.out.printf("95%% 置信区间: [%.2f, %.2f]%n", lowerBound, upperBound);
        System.out.printf("误差范围: ±%.2f%n", marginOfError);
    }
}

✅ 输出示例：

样本均值: 102.40
样本标准差: 4.83
95% 置信区间: [98.76, 106.04]
误差范围: ±3.64

四、常见错误与注意事项

❌ 常见错误

✅ 注意事项

1. 分布选择：根据实际场景选择分布类型，不要强行用正态分布。
2. 样本独立性：确保样本是独立同分布（i.i.d），否则统计无效。
3. 置信区间解释：不是“有 95% 概率包含真值”，而是“重复实验 100 次，约 95 次区间包含真值”。
4. 边界检查：对 inverseCumulativeProbability 输入值应在 (0,1) 范围内。

五、使用技巧与最佳实践

✅ 技巧 1：封装置信区间计算工具类

public class ConfidenceIntervalUtils {
    public static double[] computeConfidenceInterval(double[] data, double confidenceLevel) {
        DescriptiveStatistics stats = new DescriptiveStatistics();
        for (double d : data) stats.addValue(d);

        int df = stats.getN() - 1;
        double t = new TDistribution(df).inverseCumulativeProbability(1 - (1 - confidenceLevel) / 2);
        double se = stats.getStandardDeviation() / Math.sqrt(stats.getN());
        double margin = t * se;

        return new double[]{stats.getMean() - margin, stats.getMean() + margin};
    }
}

✅ 技巧 2：使用 ThreadLocalRandom 提升性能

// 推荐：线程安全且高效
double uniform = ThreadLocalRandom.current().nextDouble(0, 1);
double gaussian = // 仍需转换或使用 Commons Math

✅ 技巧 3：预生成随机数池（高频调用场景）

// 对性能要求极高时，可预生成随机数数组复用
double[] randomPool = new double[1000];
NormalDistribution norm = new NormalDistribution(0, 1);
for (int i = 0; i < randomPool.length; i++) {
    randomPool[i] = norm.sample();
}
// 使用时从 pool 取，定期刷新

六、性能优化建议

七、扩展：蒙特卡洛模拟示例（估算 π）

public static double estimatePi(int numSamples) {
    int insideCircle = 0;
    for (int i = 0; i < numSamples; i++) {
        double x = ThreadLocalRandom.current().nextDouble(-1, 1);
        double y = ThreadLocalRandom.current().nextDouble(-1, 1);
        if (x*x + y*y <= 1) insideCircle++;
    }
    return 4.0 * insideCircle / numSamples;
}

总结